Urodził się 29 stycznia 1957 w Kowali w wielodzietnej rodzinie Władysława i Anieli Wojdów. Ukończył szkołę podstawową w Kowali w 1972 roku. Cztery lata później zdał maturę, po której wstąpił do Nowicjatu w Stowarzyszeniu Apostolstwa Katolickiego (Pallotyni). Swoją drogę powołania zawdzięcza ks. Janowi Nowobilskiemu, wikariuszowi parafii brzezińskiej, wspaniałemu i świętemu kapłanowi, który pokierował go do Pallotynów.

W latach 1977-1983 ks. Tadeusz studiował Filozofię i Teologię w Wyższym Seminarium Duchownym Stowarzyszenia Apostolstwa Katolickiego w Ołtarzewie k. Warszawy, a od 1980 r. Teologię Fundamentalną na Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie. Dnia 8 maja 1983 roku przyjął święcenia kapłańskie w Stowarzyszeniu Apostolstwa Katolickiego. Przez kilka miesięcy pracował jako wikariusz w parafii Chrystusa Króla w Warszawie, a następnie jako współpracownik Sekretariatu Misyjnego SAC w Ząbkach. W roku 1989 zrobił doktorat z Misjologii na Papieskim Uniwersytecie Gregorianum w Rzymie. Od 1990 pracował w Papieskim Dziele Rozkrzewiania Wiary i w Kongregacji ds. Ewangelizacji Narodów. W 2012 roku został podsekretarzem tej kongregacji. Był także kapelanem Wspólnoty Sióstr Boromeuszek w Rzymie i Czerwonego Krzyża Włoskiego przy Centrum Edukacji fizycznej dla niepełnosprawnych.

12 kwietnia 2017 papież Franciszek mianował go arcybiskupem metropolitą białostockim. Jako zawołanie biskupie przyjął słowa „Oportet praedicari Evangelium” (Potrzeba, aby Ewangelia była głoszona).

Święcenia biskupie ks. Wojda przyjął 10 czerwca 2017 roku. Udzielił mu ich prefekt Kongregacji Ewangelizacji Narodów i Krzewienia Wiary kard. Fernando Filoni. Wspókonsekratorami byli abp Edward Ozorowski oraz abp Henryk Hoser. Podczas tej uroczystości odbył się ingres nowego arcybiskupa metropolity do archikatedry białostockiej.

2 marca 2021 r. otrzymał nominację na metropolitę gdańskiego.